Формулы для комбинаций, перестановок и перестановок

Какова формула расчета комбинаций и перестановок? Статья расскажет вам, как рассчитывать комбинации и другие связанные с ними формулы.

Перестановки и комбинации — самые основные понятия в математике, которые подразумевают выбор элементов из группы или набора.

• Перестановка — это расположение элементов в порядке выбора из заданной группы.
• Комбинирование — это выбор элементов без учета порядка.

Оглавление

• Комбинаторная формула
• Формула перестановки
• Перестановка 

Комбинаторная формула

Дано множество A с n элементами и целое число k, (1 ≤ k ≤ n). Каждое подмножество A с k элементами называется k-кратной комбинацией n элементов A.

Формула комбинации K для n

Формула свойств комбинации:

Примеры комбинаторики

Пример 1: 

Группа из 12 студентов. Сколько существует способов:

а) Выберите 2 представителей для группы

б) Выберите 2 человек и назначьте их на должности руководителя группы и заместителя руководителя группы.

в) Разделите группу на 2 группы, в которых руководитель группы и заместитель руководителя группы находятся в разных группах.

Решение

а) Выберите 2 друзей из 12, которые являются комбинациями 2 из 12: C122 = 66 способов.

б) Выберите 2 человек и назначьте им позицию объединения 2 из 12: A122 = 132 способа.

в) Разделите группу на 2 группы, по 6 человек в каждой.

В которой руководитель группы и заместитель руководителя группы находятся в разных группах.

Выберите 5 друзей, которые будут в одной группе с лидером команды, из оставшихся 10 друзей: C105 = 252 способа.

Выберите 5 человек из оставшихся 5 человек, которые будут в той же группе, что и заместитель руководителя: C55 = 1 способ.

Итак, существует 252,1 = 252 способа.

Формула перестановки

Дано множество A с n элементами и целое число k, (1 ≤ k ≤ n). Когда мы берем k элементов A и располагаем их в определенном порядке, мы получаем k-кратное возмущение n элементов A (называемое n-кратным возмущением k элементов A).

Число k-перестановок множества из n элементов равно:

Формула перестановки:

• Некоторые условности: 0! = 1, An0 = 1, Ann = n!
• Характеристики: Это упорядоченная сортировка, и количество сортируемых элементов равно k: 0 ≤ k ≤ n.

Например: 

Из цифр от 0 до 9. Сколько существует способов образовать натуральное число, такое что:

а) Число с 6 разными цифрами

б) Число, состоящее из 6 различных цифр и делящееся на 10.

в) Нечетные числа имеют 6 различных цифр.

Решение

а) Составьте число из 6 разных цифр.

Выберите первую цифру из чисел от 1 до 9: есть 9 способов выбора

Оставшиеся цифры представляют собой 5-ю перестановку оставшихся 9 цифр (кроме первой цифры) с A95.

Итак, всего 9A95 = 136080 чисел.

б) Число, состоящее из 6 различных цифр и делящееся на 10.

Выберите цифру единицы: есть 1 способ выбрать цифру 0

Выберите оставшиеся цифры в качестве 5-й перестановки оставшихся 9 цифр (кроме цифры 0) с A95

Итак, имеется A95 = 15120 чисел.

в) Пусть число будет нечетным числом с 6 различными цифрами, составленными из цифр от 0 до 9.

Поскольку оно нечетное, f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

Выберите f: есть 5 способов выбора

Выберите a из цифр {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: есть 8 способов выбора

Выбираем b, c, d, e как 4-комплекс оставшихся 8 цифр (кроме f и a): имеем A84

Итак, всего 5,8A84 = 67200 чисел.

Перестановка

а) Определение:

- Дано множество A из n элементов (n ≥ 1).

Каждый результат упорядочения n элементов множества A называется перестановкой n элементов.

- Примечание: две перестановки из n элементов отличаются только порядком их расположения.

б) Количество перестановок:

- Символ Pn — это число перестановок n элементов.

Формула перестановки:

Pn = n(n – 1)…2,1 = n!

Конвенция: 0! = 1; 1! = 1.

Например:  посадите на скамейку 10 человек, в том числе 5 мальчиков и 5 девочек. Сколько существует способов расставить так, чтобы:

а) Сортировать любой

б) Мальчики сидят рядом друг с другом.

в) Мальчики и девочки сидят попеременно.

Решение

а) Количество способов рассадить 10 человек на скамейке равно перестановке 10: 10!

б) Посадите мальчиков рядом друг с другом. Мы собрали 5 мальчиков в «связку»: их 5! как расположить внутри "пучка"

Затем посадите 5 девушек вместе в «кучку» на скамейку: 6! как организовать

Итак, их 5! . 6! = 86400 способов рассадить мальчиков рядом друг с другом.

в) Предположим, что 10 человек рассажены на скамейках, пронумерованных от 1 до 10.

Попеременно мальчики и девочки

+ Случай 1: Мальчики сидят в нечетных положениях, девочки сидят в четных положениях

Количество способов расставить мальчиков: 5!

Количество способов расставить девушек: 5!

Итак, их 5! . 5! как организовать

+ Случай 2: Мальчики сидят на четных местах, девочки сидят на нечетных местах

Аналогично предыдущему случаю имеем 5! . 5! как организовать

Итак, их 2,5! . 5! = 28800 способов расстановки.

Разница между перестановкой и комбинацией

Разницу между перестановкой и комбинированием можно понять с помощью следующей таблицы:

Вы можете посетить раздел «Образование и обучение» на сайте Quantrimang.com, чтобы узнать больше о других математических формулах.