Формула для расчета объема тела вращения и наглядные примеры

Что такое вращающийся блок? Как рассчитать объем тела вращения?

Тело вращения — это фигура, созданная вращением плоскости вокруг фиксированной оси, например, конус вращения, цилиндр вращения, сфера вращения и т. д. Ниже приведена формула для расчета объема тела вращения, пожалуйста, ознакомьтесь с ней.

Оглавление

• Рассчитайте объем круглого блока, вращающегося вокруг оси Ox.
• Рассчитайте объем круглого блока, вращающегося вокруг оси Oy.
• Пример расчета объема тела вращения

Рассчитайте объем круглого блока, вращающегося вокруг оси Ox.

Если круглый блок вращается вокруг оси Ox, то для расчета объема вращающегося круглого блока можно применить следующие формулы:

Случай 1 : Вращающийся круговой блок, созданный:

• Линия у= f(x)
• ось x y=0
• х=а; х=б

Тогда формула для расчета объема будет следующей:

Случай 2 : Вращающийся блок создается путем:

• Линия у= f(x)
• Линия у= g(x)
• х=а; х=б

Тогда формула для расчета объема тела вращения будет иметь вид:

с

Рассчитайте объем круглого блока, вращающегося вокруг оси Oy.

Если круглый блок вращается вокруг оси Oy, то для расчета объема вращающегося круглого блока можно применить следующие формулы:

Случай 1 : Вращающийся блок создается путем:

• Линия х=г(у)
• Вертикальная ось (x=0)
• у=с; у=д

Тогда формула для расчета объема тела вращения будет иметь вид:

Случай 2 : Вращающийся блок создается

• Линия х=f(y)
• Уравнение x=g(y)
• у=с; у=д

Тогда объем тела вращения составит:

с

Сводная таблица формул для расчета объема тела вращения:

1. Vx, генерируемая областью S, вращающейся вокруг Ox:

Рецепт :

2. Vx, генерируемая областью S, вращающейся вокруг Ox:

Рецепт :

Пример расчета объема тела вращения

Пример 1: 

Вычислить объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной кривой y = sinx, осью x и двумя прямыми x=0, x=π (чертеж), вокруг оси Ox.

Решение

Применяя формулу из приведенной выше теоремы, имеем

Пример 2: 

Вычислите объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной кривой и осью x, вокруг оси x.

Приз:

Мы видим:

Таким образом, для всех x это уравнение полуокружности с центром O и радиусом R = A, лежащей выше оси Ox. При вращении вокруг оси Ox плоская фигура образует сферу с центром O и радиусом R = A (рисунок). Поэтому у нас всегда есть

 

Таким образом, в этом типе задач нам не нужно записывать формулу интегрирования, а можно сделать вывод на основе формулы для вычисления объема сферы.

Пример 3: 

Рассчитайте объем тела, лежащего между двумя плоскостями x = 0 и x = 1, зная, что поперечное сечение тела, высеченное плоскостью (P), перпендикулярной оси Ox, в точке с абсциссой x(0≤x≤1), представляет собой прямоугольник с длинами двух сторон x и ln(x2+1).

Приз: 

Поскольку поперечное сечение прямоугольное, площадь поперечного сечения равна:

У нас есть объем для расчета как

Пример 4: Дана плоская фигура, ограниченная линиями y = 3x; у = х; х = 0; x = 1 вращается вокруг оси Ox. Рассчитайте объем полученного тела вращения.

Приз:

Координатами пересечения прямой x = 1 с y = x и y = 3x являются точки C(1;1) и B(3;1). Координаты пересечения прямой y = 3x с y = x равны O(0;0).

Таким образом, объем вращающегося твердого тела, который необходимо рассчитать, равен:

Пример 5 : Дана плоская фигура, ограниченная линиями y = 2x2; y2 = 4x вращается вокруг оси Ox. Рассчитайте объем полученного тела вращения.

Приз:

С эквивалентным временем. Координаты пересечения прямой с — точки O(0;0) и A(1;2).

Таким образом, объем вращающегося твердого тела, который необходимо рассчитать, равен:

Для задач, требующих вычисления объема тела вращения, вам просто нужно использовать правильную формулу для каждого случая и быть внимательным при определении предела, чтобы иметь возможность решить ее. Удачи!