Что такое четная функция? Что такое нечетная функция?

Что такое четная функция ? Не только четные функции , но и нечетные функции представляют большой интерес. Давайте изучим эти два понятия вместе!

Функции в математике можно разделить на четные и нечетные в зависимости от их симметрии относительно оси. Четная функция — это функция, которая остается постоянной, когда ее входные данные меняются на отрицательные (выходные данные одинаковы для x и -x), что отражает симметрию относительно оси y. С другой стороны, нечетная функция становится отрицательной, когда ее входные данные меняются на отрицательные, демонстрируя симметрию относительно начала координат. Функция f является четной, если f(-x) = f(x) для всех x в области определения f. Функция f является нечетной функцией, если f(-x) = -f(x) для всех x в области определения f, то есть:

• Чётная функция:f(-x) = f(x)
• Нечетная функция:f(-x) = -f(x)

В этой статье мы подробно обсудим четные и нечетные функции, определение четных и нечетных функций, четные и нечетные функции в тригонометрии, графики четных и нечетных функций, а также много другой информации, которую вам необходимо знать.

Оглавление

• Что такое четная функция?
• Что такое нечетная функция?
• График четных и нечетных функций
• Какая функция не является ни четной, ни нечетной?
• Запомните общую нечетно-четную функцию
• Как определить четные и нечетные функции
• Упражнения на проверку четности функций

Что такое четная функция?

Функция y = f (x) с областью определения D называется четной функцией, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

• ∀ х ∈ D ⇒ − х ∈ D
• ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

Например: Функция y = x² является четной функцией.

Что такое нечетная функция?

Функция y = f ( x ) с областью определения D называется нечетной функцией, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

• ∀ х ∈ D ⇒ − х ∈ D
• ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

Пример: Пример: Функция y = x является нечетной функцией.

Внимание. Первое условие называется условием симметрии области относительно 0.

Например, D = (-2;2) — это множество, симметричное относительно 0, тогда как множество D' = [-2;3] не является симметричным относительно 0.

Множество R = (−∞;+∞) является симметричным множеством.

Примечание: Функция не обязательно должна быть четной или нечетной.

Например: Функция y = 2x + 1 не является ни четной, ни нечетной функцией, потому что:

При x = 1 имеем f(1) = 2,1 + 1 = 3

При x = -1 имеем f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ Два значения f(1) и f(-1) не равны и не противоположны.

График четных и нечетных функций

Четные функции имеют графики, в которых ось Y является осью симметрии.

Нечетная функция имеет график с началом координат O в качестве центра симметрии.

Какая функция не является ни четной, ни нечетной?

Не каждую функцию можно определить как четную или нечетную. Некоторые функции не являются ни четными, ни нечетными функциями, например: y=x²+x, y=tan(x-1),…

Кроме того, существует особый тип функции, которая является как четной, так и нечетной. Например, функция y=0

Запомните общую нечетно-четную функцию

Четная функция

y = ax2 + bx + c тогда и только тогда, когда b = 0

Квадратичная функция

у = cosx

у = f(x)

Нечетная функция

y = ax + b тогда и только тогда, когда b = 0

y = ax3 + bx2 + cx + d тогда и только тогда, когда b = d = 0

у = sinx; у = тангкс; у = котx

Некоторые другие случаи

F(x) — четная функция и имеет производную на своей области определения, тогда ее производная — нечетная функция.

F(x) — нечетная функция и имеет производную на своей области определения, тогда ее производная — четная функция.

Полиномиальная функция нечетной степени не является четной функцией.

Полиномиальные функции четной степени не являются нечетными функциями.

Как определить четные и нечетные функции

Для определения четно-нечетной функции выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдите домен: D

Если ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D Перейти к шагу три

Если ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Шаг 2: Замените x на -x и вычислите f(-x)

Шаг 3: Проверьте знак (сравните f(x) и f(-x)):

° Если f(-x) = f(x), то функция f четная

° Если f(-x) = -f(x), то функция f нечетная

° Другие случаи: функция f не имеет четности

Упражнения на проверку четности функций

Урок 4, страница 39, учебник по алгебре 10: Рассмотрим нечетно-четные свойства следующих функций:

а) у = |х|;

б) у = (х + 2)2;

в) у = х3 + х;

г) у = х2 + х + 1.

Премия

а) Пусть y = f(x) = |x|.

° TXĐ: D = R, поэтому для ∀x ∈ D, то –x ∈ D.

° f(–x) = |–x| = |х| = f(x).

→ Итак, функция y = |x| является четной функцией.

б) Пусть y = f(x) = (x + 2)2.

° TXĐ: D = R, поэтому для ∀x ∈ D, то –x ∈ D.

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).

→ Таким образом, функция y = (x + 2)2 не является ни четной, ни нечетной.

в) Пусть y = f(x) = x3 + x.

° TXĐ: D = R, поэтому для ∀x ∈ D, то –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)

→ Итак, y = x3 + x — нечетная функция.

г) Пусть y = f(x) = x2 + x + 1.

° TXĐ: D = R, поэтому для ∀x ∈ D, то –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)

→ Таким образом, функция y = x2 + x + 1 не является ни четной, ни нечетной.

Существует ли функция, определенная на R, которая является одновременно четной и нечетной функцией?...

Приз:

Легко видеть, что функция y = 0 является функцией, определенной на R, причем как четной, так и нечетной функцией.

Предположим, что функция y = f (x) — это любая функция с такими свойствами. Тогда для каждого x в R имеем:

F (–x) = f (x) (потому что f — четная функция);

F (–x) = – f (x) (потому что f – нечетная функция).

Из этого можно сделать вывод, что для каждого x в R f(x)=−f(x), что означает f(x)=0. Таким образом, y=0 — единственная функция, определенная на R, которая является как четной, так и нечетной функцией.

Часто задаваемые вопросы о четных и нечетных функциях

Что такое чётные и нечётные функции?

Если f(x) = f(−x) для всех x в их областях определения, то четные функции симметричны относительно оси y. Нечетные функции симметричны относительно начала координат, что означает, что для всех x в их области определения f(−x) = −f(x).

Как узнать, является ли функция четной или нечетной?

Функция является четной, если f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x) = -f(x) для всех элементов в области определения f. Если число не удовлетворяет ни одному из этих свойств, то оно не является ни четным, ни нечетным.

В чем разница между нечетными и четными периодическими функциями?

Разница между нечетными и четными периодическими функциями: четная функция удовлетворяет f(−x) = f(x) для всех x в области определения, тогда как нечетная функция удовлетворяет f(−x) = −f(x).

Помимо четных и нечетных функций, вы можете изучить некоторые другие важные математические знания, такие как квадраты чисел , иррациональные числа, рациональные числа , простые числа , натуральные числа ... в разделе «Образование» на сайте Quantrimang.com.