Что такое ортоцентр? Определить ортоцентр в треугольнике

Ортоцентр треугольника — это пересечение трех высот , то есть пересечение линий, проведенных из каждой вершины треугольника к его противоположной стороне, образует прямой угол. Длина высоты — это расстояние между вершиной и основанием.

Ортоцентр треугольника

• Что такое ортоцентр?
• Как определить ортоцентр треугольника
• Свойства ортоцентра треугольника
• Упражнения по определению и доказательству ортоцентра треугольника

Что такое ортоцентр?

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника .

А именно: На чертеже указаны высоты, ортоцентр треугольника.

Как определить ортоцентр треугольника

Чтобы определить ортоцентр треугольника, мы находим пересечение двух высот в этом треугольнике.

Примечание:  а) Если треугольник остроугольный, то ортоцентр лежит внутри треугольника.

б) Если треугольник прямоугольный, то ортоцентр совпадает с точкой .

в) Если треугольник тупоугольный, то ортоцентр лежит вне треугольника.

Свойства ортоцентра треугольника

Свойство 1:  В равностороннем треугольнике центроида, ортоцентр, точка, равноудалённая от трёх вершин треугольника, точка внутри треугольника и равноудалённая от трёх сторон треугольника — это четыре совпадающие точки.

Свойство 2:  Ортоцентр делит серединный перпендикуляр двух сторон на два отрезка равной длины. Это означает, что ортоцентр находится на одинаковом расстоянии от вершин треугольника.

Свойство 3:  Ортоцентр является центром описанной окружности треугольника, то есть если мы нарисуем окружность, проходящую через три вершины треугольника, то ортоцентр будет центром этой окружности.

Свойство 4:  Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Свойство 5:  Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла этого прямоугольного треугольника.

Свойство 6:  Ортоцентр — единственная точка в треугольнике, такая, что если провести линии из ортоцентра к вершинам треугольника, то сумма длин этих линий будет наименьшей. Это означает, что ортоцентр находится ближе всего к вершинам треугольника, чем любая другая точка.

Свойство 7: Ортоцентр также является центром описанной окружности треугольника, то есть наибольшей окружности, которую можно провести через три вершины треугольника.

Упражнения по определению и доказательству ортоцентра треугольника

Например: Дан неквадратный. Назовем его ортоцентром. Покажите высоты треугольника. Отсюда укажите ортоцентр этого треугольника.

Руководство по решению

Иллюстрация

Пусть – основания перпендикуляров, проведенных из ΔABC.

Рассмотрим ΔHBC с:

поэтому AD — это высота от H до BC.

в точке F, поэтому BA — это высота от B до HC

в точке E, поэтому CA — это высота от C до HB.

пересекаются в точке A, поэтому A является ортоцентром ΔHCB.

Например: Дан прямоугольный треугольник с высотой . Пусть середина будет , середина — . Определите ортоцентр треугольника.

Руководство по решению

Рассмотрим подзадачу, если треугольник имеет середины и AC соответственно, тогда и .

Действительно, на противоположном луче луча возьмем точку такую, что

Рассмотрим треугольник AMN и треугольник CPN.

(противоположный)

, (две стороны и два соответствующих угла)

Два угла находятся в чередующихся положениях, поэтому

=>(два внутренних противоположных угла)

Рассмотрим треугольник BMC и треугольник PCM.

(смт)

MC — общее ребро

, (соответствующие стороны и углы)

Два угла находятся в чередующихся положениях, поэтому

У нас снова есть

Рассмотрим треугольник HAB с:

(как доказано выше)

Рассмотрим треугольник ADE.

с другой стороны и

высота треугольника ADE

C — пересечение AC и DC

=> C — ортоцентр треугольника ADE

Например: при масштабе A высота пересекает медиану в точке . Доказать и посчитать?

Инструктировать

Иллюстрация

Поскольку баланс находится в точке А, а АМ — это медиана

⇒ AM также является высотой, соответствующей BC

у М.

С другой стороны, и поэтому K является ортоцентром.

Следовательно, K принадлежит высоте от C до ∆ABC.

У нас есть: