Что такое действительное число?

Что такое действительные числа? Какие числа входят в множество действительных чисел? Пожалуйста, прочитайте статью ниже, чтобы лучше понять эти важные математические знания.

Реальное число

• 1. Что такое действительное число?
• 2. Действительная числовая ось
•  3. Сравните действительные числа
• 3. Свойства множества действительных чисел
• 4. Абсолютное значение действительного числа
• 5. Примеры упражнений с действительными числами

1. Что такое действительное число?

• Действительные числа — это множество рациональных и иррациональных чисел.
• Множество — это символ множества действительных чисел, состоящего из действительных чисел.

• Рациональное число — это число, записанное в виде дроби (a, b ∈ Z, b ≠ 0). Например 
• Множество рациональных чисел обозначается как 
• Иррациональное число — это бесконечная непериодическая десятичная дробь. Например:
• Множество иррациональных чисел обозначается как 

Множество действительных чисел покрывает числовую ось.

Например:

2. Действительная числовая ось

Каждое действительное число представлено точкой на числовой прямой.

• И наоборот, каждая точка на числовой прямой представляет собой действительное число.
• Числовую прямую заполняет только набор действительных чисел.

 3. Сравните действительные числа

Метод

• С любыми двумя действительными числами x, y мы всегда имеем x = y или x < y или x > y
• Действительные числа больше 0 называются положительными действительными числами, действительные числа меньше 1 называются отрицательными действительными числами. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным действительным числом.
• Сравнение положительных действительных чисел похоже на сравнение рациональных чисел.
• Если a, b — два положительных действительных числа, то если a > b, то .

Пример: Впишите соответствующую цифру в квадрат:

Руководство по решению

а) -7,5(0)8 > -7,513

б) -3,02 <>

в) -0,4(9)854 <>

г) -1,(9)0765 <>

Пример: Расположите действительные числа в порядке от наименьшего к наибольшему.

Руководство по решению

Расположите действительные числа в порядке от наименьшего к наибольшему:

Например: Докажите, что:

Если a, b — два положительных действительных числа, то если a > b, то

Руководство по решению

Если а > б, то

a, b — два положительных действительных числа, поэтому a + b > 0

Если а > b, то а – b > 0

Рассмотрим продукт

Потому что а2 – b2 > 0

=> а2 > б2 => дпцм

3. Свойства множества действительных чисел

В наборе мы также определяем операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения квадратных корней... И в операциях действительные числа также обладают теми же свойствами, что и операции в наборе рациональных чисел.

В множестве действительных чисел операции обладают следующими свойствами относительно умножения:

• Для всех объектов недвижимости:
• Добавить 0: 
• Коммутативное свойство: ;
• Комбинированные свойства: 
• Коммутативное свойство: а. б = б. а
• Ассоциативные свойства: (а. б). с = а. (б. в)
• Свойства умножения на число 1:
• Распределительное свойство умножения относительно сложения: а. (б + в) = а. б + а. с
• Для каждого действительного числа a ≠ 0 существует обратное число, такое что

- То есть, приведенные выше вычисления также обладают коммутативными и ассоциативными свойствами, как и другие наборы чисел. То же самое касается вычитания, умножения, деления…

Связь между наборами чисел

Например: Выполните расчет:

Руководство по решению

Например: Найдите x, зная:

Руководство по решению

4. Абсолютное значение действительного числа

Определение: Расстояние от точки a до точки 0 на числовой прямой равно абсолютному значению числа a (a — действительное число). Абсолютное значение отрицательного числа равно ему самому, абсолютное значение отрицательного числа равно его противоположности.

Обзор:

• Если
• Если
• Если
• Если

Природа

• Абсолютное значение каждого числа неотрицательно.
• Общее: для всех a ∈ R

Конкретно:

Некоторые свойства

- Два числа, которые равны или противоположны, имеют одинаковое абсолютное значение, и наоборот, два числа, которые имеют одинаковое абсолютное значение, равны или противоположны.

Обзор:

- Каждое число больше или равно противоположному ему абсолютному значению и в то же время меньше или равно своему абсолютному значению.

Обзор: и

- Из двух отрицательных чисел меньшее из них имеет большее абсолютное значение.

Обзор: Если

- Из двух положительных чисел меньшее имеет меньшее абсолютное значение.

Обзор: Если

- Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин.

Обзор:

- Абсолютное значение частного равно частному двух абсолютных значений.

Обзор:

5. Примеры упражнений с действительными числами

Пример 1: Заполните пропуски соответствующими символами ∈, ∉, ⊂ (…):

3 …. В; 3 …. Р ; 3… Я ; -2,53… В;

0,2(35) …. Я ; Н…. Z ; Я… Р.

Инструктировать

а) 3 ∈ Q ; 3 ∈ R ; 3 ∉ Я ; -2,53 ∈ Q

б) 0,2(35) ∉ I ; N ∈ Z ; Я ⊂ Р

Пример 2: Найти множества

а) Q ∩ I ;
б) Р ∩ И.

Инструктировать

а) Q ∩ I = Ø ;
б) R ∩ I = I.

Пример 3: Вставьте соответствующую цифру в (…) 

а) – 3,02 < –="" 3,="" …="">

б) – 7,5 … 8 > – 7,513

в) – 0,4 … 854 < –="">

г) -1, … 0765 < –="">

Инструктировать

а) – 3,02 < –="">
б) – 7 508 > – 7 513 ;
в) – 0,49854 < –="" 0,49826="">
г) -1,90765 < –="">

Пример 4: Найти x, зная:

3,2.х + (-1,2).х +2,7 = -4,9;

Инструктировать

3.2. х + (-1,2).х + 2,7 = -4,9

[3,2 + (-1,2)].x + 2,7 = -4,9.

2.x + 2.7 = – 4.9.

2.х = – 4.9 – 2.7

2.х = – 7,6

х = -7,6 : 2

х = -3,8

Помимо действительных чисел, вы можете узнать больше о других определениях в математике, таких как квадраты чисел , иррациональные числа, рациональные числа , простые числа , натуральные числа ...