Как решить квадратное уравнение

Решить квадратные уравнения

• А. Что такое квадратное уравнение?
• B. Решить квадратные уравнения
• C. Решайте в уме квадратные уравнения.
• D. Использование формулы Вьет-эта
  • Теорема Виета
  • Обратная теорема Виета
• E. Пример решения квадратного уравнения
• F. Факторизация
• Ж. Решение квадратных уравнений, содержащих параметры

А. Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение вида (a≠0) (1).

Поскольку x является неизвестной переменной, и имеется только одна неизвестная переменная, такое уравнение также называется уравнением с «одной переменной». Числа a, b и c — известные числа, называемые коэффициентами уравнения; можно различать, называя их соответственно: квадратичный коэффициент, коэффициент первого порядка и свободный или постоянный коэффициент.

Квадратное уравнение — это тип полиномиального уравнения, оно содержит только те степени x, которые являются натуральными числами.

Решение квадратного уравнения — это нахождение таких значений x, чтобы при подстановке x в уравнение (1) выполнялось соотношение ax2+bx+c=0. Существует четыре распространенных способа решения квадратных уравнений: факторизация; метод квадратного корня; используйте формулу корня; график.

B. Решить квадратные уравнения

Шаг 1: Рассчитайте Δ=b2-4ac

Шаг 2: Сравните Δ с 0

• Δ < 0=""> Уравнение (1) не имеет решения
• Δ = 0 => уравнение (1) имеет двойное решение
• Δ > 0 => уравнение (1) имеет 2 различных решения, мы используем следующую формулу решения :

и

C. Решайте в уме квадратные уравнения.

• Если уравнение имеет a + b + c = 0, то уравнение имеет решение.
• Если уравнение имеет a - b + c = 0, то уравнение имеет решение:

D. Использование формулы Вьет-эта

Теорема Виета

Если это решение уравнения, то

Обратная теорема Виета

Если существуют два числа, то они являются решениями уравнения, (существует, когда)

E. Пример решения квадратного уравнения

Пример 1: Решите следующее квадратное уравнение: x2 - 49x - 50 = 0

Руководство по решению

Метод 1: Используйте формулу корня (a = 1; b = -49; c = -50)

Поскольку ∆ > 0, уравнение имеет два различных решения.

Метод 2: Устный счет

Потому что а – b + с = -1 – (-49) + (-50) = 0

Итак, уравнение имеет два решения.

Метод 3:

Согласно теореме Виета имеем:

Итак, уравнение имеет два решения:

Пример 2: Решите уравнение 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4,4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => данное уравнение (2) имеет 2 различных решения.

и

Вы также можете быстро вычислить решение, вычислив его в уме, поскольку вы видите, что 4-(-2)+6=0, поэтому x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Решение такое же, как указано выше.

Пример 3: Решите уравнение 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

Рассчитайте Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) имеет 2 различных решения:

и

Проверить, правильно ли вы рассчитали решение, очень просто: просто подставьте по очереди x1, x2 в уравнение 3, если результат равен 0, то оно верно. Например, замените x1 на 2,32-7,3+3=0.

Пример 4: Решите уравнение 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

Рассчитайте Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> Уравнение (4) не имеет решения.

Пример 5: Решите уравнение x2 – 4x +4 = 0 (5)

Рассчитаем Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => уравнение (5) имеет двойное решение:

На самом деле, если вы сообразительны, вы также можете увидеть, что это запоминающееся тождество (ab)2 = a2 - 2ab + b2, поэтому (5) легко переписать как (x - 2)2 = 0 <=> x=2.

F. Факторизация многочленов

Если уравнение (1) имеет два различных решения x1, x2, то его всегда можно записать в следующем виде: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

Возвращаясь к уравнению (2), после нахождения двух решений x1, x2 его можно записать в виде: 4(x-3/2)(x+1)=0.

Ж. Решение квадратных уравнений, содержащих параметры

1. Уравнение с решением

2. Уравнение без решения

3. Уравнение имеет единственное решение (двойное решение или два равных решения)

4. Уравнение имеет два различных (различных) решения.

5. Уравнение имеет два решения с одинаковым знаком.

6. Уравнение имеет два решения с противоположными знаками.

7. Уравнение имеет два положительных корня (два корня больше 0)

8. Уравнение имеет два отрицательных корня (два корня меньше 0)

9. Уравнение имеет два противоположных решения.

10. Два обратных решения

Что следует помнить:

Наряду с квадратным уравнением существует также теорема Виета, имеющая множество приложений, таких как мысленное вычисление корней квадратного уравнения, упомянутого выше, нахождение двух чисел, если известны сумма и произведение, определение знаков корней или разложение на множители. Все это необходимые знания, которые пригодятся вам в процессе изучения алгебры или в упражнениях по решению и обсуждению квадратных уравнений позже, поэтому вам нужно тщательно их запомнить и свободно применять на практике.

Если вы собираетесь изучать программирование , вам также необходимо иметь базовые знания по математике, или даже продвинутые знания по математике, в зависимости от проекта, над которым вы будете работать.