Что такое полный квадрат числа? Как распознать и подробные примеры

Совершенный квадрат числа — это число, равное квадрату целого числа. Давайте узнаем о свойствах, распознавании и вычислениях квадратных чисел в статье ниже, чтобы лучше понять этот тип чисел.

Оглавление

• Что такое полный квадрат числа?
  • Как определить квадратные числа
  • Делимость квадратных чисел
  • Наименьшее квадратное число
  • Наибольшее квадратное число
  • Одинаковая константа для вычисления разности двух квадратных чисел
  • Характеристики квадратных чисел
• Квадратные числа
• Примеры полных квадратов чисел
• Упражнения на квадраты чисел

Что такое полный квадрат числа?

Полный квадрат числа — это число, которое равно точному квадрату целого числа. Или, проще говоря, совершенный квадрат числа — это натуральное число, квадратный корень которого также является натуральным числом.

Целые числа включают в себя положительные целые числа (1, 2, 3,…), отрицательные целые числа (-1, -2, -3,…) и 0. Множество целых чисел обозначается Z.

Однако квадратный корень квадратного числа имеет только натуральные значения, то есть положительные целые числа.

Например:

Число 4 является полным квадратом, потому что квадрат числа 2 равен 4.

9 — это полный квадрат числа (потому что 9 равно квадрату 3).

Как определить квадратные числа

1. Посмотрите на последнюю цифру : Последняя цифра полного квадрата числа — 0, 1, 4, 5, 6, 9. Числа, которые заканчиваются на 2, 3, 7, 8, не называются полными квадратами чисел.

2. Посмотрите на последнюю цифру: полный квадрат числа может иметь только одну из двух форм: 4n или 4n + 1, ни один полный квадрат числа не имеет формы 4n + 2 или 4n + 3 (где n € N).

Например: предположим, что n = 1, тогда квадрат числа имеет вид 4 x n = 4. Или n = 2, тогда квадрат числа имеет вид 4 x 2 + 1 = 9.

Он не может иметь вид 4 x 2 + 2 = 10 или 4 x 2 + 3 = 11.

3. Десятки квадратного числа четные, если последняя цифра — 1 или 9.

Например: квадрат числа 81 (квадрат 9).

4. Десятки квадратного числа, оканчивающегося на 5, равны 2.

Например: квадратное число 225 (квадрат 15).

5. Если полный квадрат числа заканчивается на 4, то цифра десятков — четное число.

Например: квадрат числа 64 (квадрат 8).

6. Если квадратное число заканчивается на 6, то цифра десятков нечетная.

Например: квадрат числа 16 (квадрат 4).

7. При разложении на простые числа полный квадрат числа содержит только простые множители с четными показателями степени.

Например: квадрат числа 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ 4.

Делимость квадратных чисел

Совершенный квадрат числа, делящийся на простое число p, будет делиться и на p^2, и наоборот.

• Полный квадрат числа, делящийся на 2, делится на 2^2 = 4.
• Полный квадрат числа, делящийся на 3, делится на 3^2 = 9.
• Совершенный квадрат числа, делящийся на 5, делится на 5^2 = 25.
• Полный квадрат числа, делящийся на 8 (= 2^3), делится также на 2^4 = 16 (записано в виде степени числа).
• Квадрат числа 36 ( 6^2 ) делится на 2 => 36 делится на 4 ( 2^2 )
• Квадрат числа 144 (12^2) делится на 3 (144:3=48) => 144 делится на 9 (144:9=16)

Наименьшее квадратное число

Наименьшее число, являющееся полным квадратом, в множестве чисел, являющихся полным квадратом, равно 0. В диапазоне от 0 до 100 существует 10 чисел, являющихся полным квадратом, меньших 100. К ним относятся числа: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Наибольшее квадратное число

• Наибольшее квадратное число, состоящее из одной цифры, — 9.
• Наибольшее двузначное квадратное число — 81.
• Наибольшее трехзначное квадратное число — 312.
• Наибольшее квадратное число из 4 цифр — 9801.
• Наибольшее квадратное число из 5 цифр — 99856.

Одинаковая константа для вычисления разности двух квадратных чисел

Например:

Характеристики квадратных чисел

• Формула для вычисления разности двух квадратных чисел: a^2 - b^2 = (ab)(a+b).
• Если квадратное число делится на простое число, то оно будет делиться и на квадрат этого простого числа.

Например: квадрат числа 18 делится на 3, тогда он будет делиться и на квадрат числа 3, то есть на 9.

Квадратные числа

Существует 2 типа квадратных чисел:

Примеры полных квадратов чисел

Числа 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … являются точными квадратами.

4 = 2² — четное квадратное число.

9 = 3² — нечетное квадратное число.

16 = 4² — четное квадратное число.

25 = 5² — нечетное квадратное число.

36 = 6² — четное квадратное число.

49 = 7² — нечетное квадратное число.

64 = 8² — четное квадратное число.

81 = 9² — нечетное квадратное число.

100 = 10² — четное квадратное число.

Примечание: числа 0 и 1 также являются квадратными числами.

Упражнения на квадраты чисел

Урок 1 : В следующем ряду чисел, которое является полным квадратом числа: 9, 81, 790, 408, 121, 380, 2502, 441, 560.

Решение: Точные квадраты чисел: 9 (3²), 81 (9²), 121 (11²), 441 (21²).

Урок 2:  Докажите, что число 1234567890 не является полным квадратом.

Решение: Число 1234567890 делится на 5 (потому что последняя цифра — 0), но не делится на 25 (потому что последние две цифры — 90). Следовательно, число 1234567890 не является полным квадратом.

Урок 3 : Докажите, что число B = 4n^4 + 4n³ + n² является полным квадратом для любого положительного целого числа n.

Решение:

B = 4n^4 + 4n³ + n²= n²(4n² + 4n + 1) = n²(2n + 1)²

Мы видим, что B можно представить как произведение двух квадратов. Или B = [n(2n+1)]², а n(2n + 1) — целое число. Итак, вывод таков: B — это полный квадрат числа.

Урок 4: 

Найдите натуральное число n такое, что следующее число является полным квадратом: B = n² + 4n + 1.

Решение:

Поскольку число B является полным квадратом, мы положим n² + 4n + 1 = b²

= 4n²+16n+4=4b²

= (4n²+16n+16)-16+4=4b²

= (2n+4)²- 4b² = 12

= (2n+4+2b)x(2n+4-2b)=12

Обратите внимание, что 2n+4+2b 2n+4-2b, и все это положительные целые числа. Итак, мы можем найти соответствующие пары чисел: (12, 1), (6, 2) и (4, 3). Вам необходимо рассмотреть каждый случай, чтобы найти n и b. Конкретно:

• Случай 1: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 = n = 5/4, b = 11/4
• Случай 2: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 = n = 0, b = 1
• Случай 3: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 = n = -1/4, b = 1/4

Но n — натуральное число, поэтому удовлетворительными являются только ответы n = 0, b = 1. И n = 0, поэтому квадрат числа B = 1.

Надеюсь, приведенная выше статья предоставила полезную информацию, которая поможет вам узнать, что такое полный квадрат числа, является ли 0 полным квадратом числа, а также свойства и характеристики полных квадратов чисел. После этого у вас появится больше знаний для решения задач и вопросов, связанных с квадратами чисел.

Помимо квадратных чисел, вы можете узнать о других типах чисел в математике, таких как смешанные числа , дроби ...