Что такое действительные числа? Какие числа входят в множество действительных чисел? Пожалуйста, прочитайте статью ниже, чтобы лучше понять эти важные математические знания.
Реальное число
1. Что такое действительное число?
- Действительные числа — это множество рациональных и иррациональных чисел.
- Множество — это символ множества действительных чисел, состоящего из действительных чисел.
- Рациональное число — это число, записанное в виде дроби (a, b ∈ Z, b ≠ 0). Например
- Множество рациональных чисел обозначается как
- Иррациональное число — это бесконечная непериодическая десятичная дробь. Например:
- Множество иррациональных чисел обозначается как
Множество действительных чисел покрывает числовую ось.
Например:
2. Действительная числовая ось
Каждое действительное число представлено точкой на числовой прямой.
- И наоборот, каждая точка на числовой прямой представляет собой действительное число.
- Числовую прямую заполняет только набор действительных чисел.

3. Сравните действительные числа
Метод
- С любыми двумя действительными числами x, y мы всегда имеем x = y или x < y или x > y
- Действительные числа больше 0 называются положительными действительными числами, действительные числа меньше 1 называются отрицательными действительными числами. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным действительным числом.
- Сравнение положительных действительных чисел похоже на сравнение рациональных чисел.
- Если a, b — два положительных действительных числа, то если a > b, то .
Пример: Впишите соответствующую цифру в квадрат:
| а) -7,5(...)8 > -7,513 |
б) -3,02 <> |
| в) -0,4(...)854 <> |
г) -1,(...)0765 <> |
Руководство по решению
а) -7,5(0)8 > -7,513
б) -3,02 <>
в) -0,4(9)854 <>
г) -1,(9)0765 <>
Пример: Расположите действительные числа в порядке от наименьшего к наибольшему.
Руководство по решению
Расположите действительные числа в порядке от наименьшего к наибольшему:
Например: Докажите, что:
Если a, b — два положительных действительных числа, то если a > b, то
Руководство по решению
Если а > б, то
a, b — два положительных действительных числа, поэтому a + b > 0
Если а > b, то а – b > 0
Рассмотрим продукт
Потому что а2 – b2 > 0
=> а2 > б2 => дпцм
3. Свойства множества действительных чисел
В наборе мы также определяем операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения квадратных корней... И в операциях действительные числа также обладают теми же свойствами, что и операции в наборе рациональных чисел.
В множестве действительных чисел операции обладают следующими свойствами относительно умножения:
- Для всех объектов недвижимости:
- Добавить 0:
- Коммутативное свойство: ;
- Комбинированные свойства:
- Коммутативное свойство: а. б = б. а
- Ассоциативные свойства: (а. б). с = а. (б. в)
- Свойства умножения на число 1:
- Распределительное свойство умножения относительно сложения: а. (б + в) = а. б + а. с
- Для каждого действительного числа a ≠ 0 существует обратное число, такое что
- То есть, приведенные выше вычисления также обладают коммутативными и ассоциативными свойствами, как и другие наборы чисел. То же самое касается вычитания, умножения, деления…
Связь между наборами чисел
Например: Выполните расчет:
Руководство по решению
Например: Найдите x, зная:
Руководство по решению
4. Абсолютное значение действительного числа
Определение: Расстояние от точки a до точки 0 на числовой прямой равно абсолютному значению числа a (a — действительное число). Абсолютное значение отрицательного числа равно ему самому, абсолютное значение отрицательного числа равно его противоположности.
Обзор:
Природа
- Абсолютное значение каждого числа неотрицательно.
- Общее: для всех a ∈ R
Конкретно:
Некоторые свойства
- Два числа, которые равны или противоположны, имеют одинаковое абсолютное значение, и наоборот, два числа, которые имеют одинаковое абсолютное значение, равны или противоположны.
Обзор:
- Каждое число больше или равно противоположному ему абсолютному значению и в то же время меньше или равно своему абсолютному значению.
Обзор: и
- Из двух отрицательных чисел меньшее из них имеет большее абсолютное значение.
Обзор: Если
- Из двух положительных чисел меньшее имеет меньшее абсолютное значение.
Обзор: Если
- Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин.
Обзор:
- Абсолютное значение частного равно частному двух абсолютных значений.
Обзор:
5. Примеры упражнений с действительными числами
Пример 1: Заполните пропуски соответствующими символами ∈, ∉, ⊂ (…):
3 …. В; 3 …. Р ; 3… Я ; -2,53… В;
0,2(35) …. Я ; Н…. Z ; Я… Р.
Инструктировать
а) 3 ∈ Q ; 3 ∈ R ; 3 ∉ Я ; -2,53 ∈ Q
б) 0,2(35) ∉ I ; N ∈ Z ; Я ⊂ Р
Пример 2: Найти множества
а) Q ∩ I ;
б) Р ∩ И.
Инструктировать
а) Q ∩ I = Ø ;
б) R ∩ I = I.
Пример 3: Вставьте соответствующую цифру в (…)
а) – 3,02 < –="" 3,="" …="">
б) – 7,5 … 8 > – 7,513
в) – 0,4 … 854 < –="">
г) -1, … 0765 < –="">
Инструктировать
а) – 3,02 < –="">
б) – 7 508 > – 7 513 ;
в) – 0,49854 < –="" 0,49826="">
г) -1,90765 < –="">
Пример 4: Найти x, зная:
3,2.х + (-1,2).х +2,7 = -4,9;
Инструктировать
3.2. х + (-1,2).х + 2,7 = -4,9
[3,2 + (-1,2)].x + 2,7 = -4,9.
2.x + 2.7 = – 4.9.
2.х = – 4.9 – 2.7
2.х = – 7,6
х = -7,6 : 2
х = -3,8
Помимо действительных чисел, вы можете узнать больше о других определениях в математике, таких как квадраты чисел , иррациональные числа, рациональные числа , простые числа , натуральные числа ...